动方向射出,并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围,即到达距地球无限远时的速度恰好为零,而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动,其近地点B到地心的距离近似为地球半径R。以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
(1)求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小;
(2)若规定两质点相距无限远时引力势能为零,则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep=r分之GMm,式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程,其动能和引力势能之和保持不变,探测器被射出后的运动过程中,其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小;
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中,通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程,飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
题目下面画着的时候飞船返回地球的图。
‘这题,有点意思。’
拿着笔的吴斌两眼发光。
第一问没什么难度,很简单的两方程联立求出大概算第一宇宙速度的答案。
吴斌拿起笔就开始写。
解:设地球质量为M,飞船质量为m,探测器质量为m’,当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为vo
根据万有引力定律和牛顿第二定律有(kR)²分之GM(m+m’)(m+m')kR分之vo²
对于地面附近的质量为mo的物体有mog=GMmo/R²
解得:vo=根号k分之gR
第一问是很简单,但这第二问就有点意思了,题目给出了一个引力势能的式子,里面小坑相当多,总之先不要慌,不要想为啥是无限远,为啥引力势能带负号,这都是做完再想的事。
首先很明显,这里动能势能和不变,机械能守恒的表达式是Ek+Ep=0
所以就能把Ep带代入进去。
得到
2分之1mv²-kR分之GMm=0
就解得:V’=根号kR分之2GM=根号2vo=根号k分之2gR
第二问②继续来,首先题目给了个条件(实质是开普勒第二定律)
即RvB=kRVA
一般来说,写上这一步应该就有一分了。
然后很显然在AB两点有机械守恒。
2分之1mvB²-R分之GMm=2分之1mvA²-KR分之GMm
算到这吴斌发现这里并没有另外一个质量。
‘嗯……遇事不决列方程!’
‘能沟通这两个质量的方程,只有动量守恒方程了吧。’
想到这吴斌不自觉的点点头,继续往下写。
(m+m’)vo=mvA+m'v'
最后因飞船通过A点与B点的速度大笑与这两点到地心的距离成反比,即RvB=kRvA
解得:m'分之m=1-根号k+1分之2分之根号2-1
“呼……”
吴斌吐了口气将笔放了下来。
“嗯,步骤都对,分数全拿,可以啊!”蔡国平看完十分欣慰的猛拍了一下吴斌的肩膀。
“挺有意思的,那老师我接着做了。”吴斌说完喵向下一题。
可蔡国平却突然将卷子一抽,说:“不用做了,既然你能这么轻松就解出这道题,去参加竞赛应该也没问题了。”
“竞赛?”吴斌一愣。
“对,全国高中生物理竞赛!”
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PS:题目里有些符号不太好打……就代替了一下。
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